从数学角度详解Paradigm最新Goo机制的完整运作模式

原文作者: Dave White,Frankie

原文标题: GOO (Gradual Ownership Optimization)

当NFT项目同时包含一个可替代的代币（FT）时，持有NFT和代币的社区往往会随着时间的推移出现分歧，而这种分歧一旦发生难以修复。Paradigm 创建了一个新的机制即渐进式所有权优化（Gradual Ownership Optimization, GOO）解决此问题。DAOrayaki 去中心化编辑委员会特编译此文，文章共分为引言、动机、机制、代码和结论五部分。

一、引言

当NFT项目同时包含一个可替代的代币（FT）时，持有NFT和代币的社区往往会随着时间的推移出现分歧。我们创建了一个机制来抑制这种分歧，并在它发生时修复它。这种机制称之为渐进式所有权优化（Gradual Ownership Optimization, GOO）。

Art Gobblers-即将推出的NFT项目，是产生一种名为Goo的以太坊代币的NFT。一个Gobbler拥有的Goo越多，它生成Goo的速度就越快。这意味着Goo的总供应量每天都会增加得越来越快，从几千到几百万甚至更多。囤积Goo代币而不拥有任何Gobbler NFT是一个非常糟糕的策略，因为其他人都会生成Goo，而你在Goo总供应量中的份额将迅速减少到零。另一方面，如果你拥有很多 "Gobblers "，但却没有多少Goo，那么你的生成Goo 的速度将落后其他玩家。

但是，假设您拥有 Gobbler NFT 的所有权，其 Goo 总产能占总量的 1%，并且你从未移除您的 Goo。无论您开始拥有多少 Goo，您最终都会得到至少 Goo 总供应量的 1%！这确保了 Goo 长期保持在 NFT 持有者的控制之下。

从数学上讲，瞬时Goo的发行量等于

其中Gobbler的 Mult，或乘数，是其生成Goo的基本速度。我们用一个微分方程自动合成Goo的发放，如果你有多个Gobbler，也会在Gobbler之间自动平衡Goo的发行量。

在这个系统中，由于一些非常幸运的数学运算，事实证明拥有多个 Gobbler 的乘数与总 mult 相加与拥有一个 Gobbler 的乘数为总 mult 相同，这意味着随着一些玩家获得更多 Gobbler，游戏保持公平。 虽然是为 Art Gobblers 设计的，但该机制适用于任何具有可替代代币的 NFT 生态系统。 它使 NFT 和代币持有者保持一致，同时确保 NFT 本身的首要重要性。 这也很有趣，尤其是与 VRGDA 等其他机制结合使用时。

在本文中，我们分解了该机制的细节，并提供了可生成Goo的代码，因此可以在自己的项目中使用它。

二、动机

1、当前NFT可替代代币的发行类型

目前，NFT项目有两种主要方式发行可替代代币。

1）空投：在某个特定的时间点，NFT的所有持有者会收到与他们持有的NFT数量成比例的可替代代币。

2）恒定释放：每个NFT在一段时间内释放出大致恒定数量的代币。

• 一种恒定释放方法是质押，NFT持有人将他们的NFT锁定在一个合约中，每天收到一些恒定数量的代币。

• 另一种近似恒定释放方法是 "玩赚"，拥有或可以使用特定NFT的用户可以玩一个游戏，有可能每天赚取一定数量的代币，这取决于他们的游戏方式。

2、问题

在以上两种情况下，随着时间的推移，持有 NFT 的人数可能会与持有可替代代币的人数大不相同。

首先，在空投的情况下，由于一些用户在不出售其代币的情况下出售NFT，而另一些用户在不出售其 NFT 的情况下出售代币，代币和 NFT 所有权失衡，而且没有力量使其恢复一致。

即使在恒定释放的情况下，由于可替代代币以恒定速率发行，随着时间的推移，NFT和可替换代币的所有权实际上是不可能回到一致：每天，新发行的代币在总供应量中所占的比例越来越小. 此外，无论您拥有多少可替代代币，都没有动力将其与相当数量的 NFT 相匹配，反之亦然。一旦 NFT 和代币持有者的群体出现分歧，就没有任何东西将他们重新整合。

3、解决方案的其他要求

我们想确保Goo是一个纯粹的实用代币，而Art Gobblers NFT本身将继续是经济的支柱。我们还希望我们的解决方案是非常高效的，易于NFT社区成员理解，而且最重要的是，使用起来很有趣。

三、机制

1、概述

属于给定以太坊帐户的所有 Art Gobbler NFT 将 Goo 释放到与该帐户关联的 Goo 池（Tank）中。该地址的所有者可以随时从该池中添加或删除 Goo。

Art Gobblers 生成Goo 的速度与池中已经存在的 Goo 的平方根成正比。每个 Gobbler 都有自己的mult或倍数 ，描述其生成Goo的基本速度。

我们用一个微分方程来自动复合这个瞬时的发行量，懒惰地进行评估，以便复合可以在任意长的时间段内发生，而不需要花费任何Gas fee。

Goo随着时间的推移呈二次方膨胀，明显慢于大多数代币质押计划中常见的指数式膨胀。

因为当Goo与用户的Gobblers按比例持有时，Goo的发行是最理想的，用户被激励按比例持有Goo和Gobblers。由于Goo的总体释放率一直在增加，所以无论已经发行了多少Goo，这些激励措施都是强有力的。

由于一些非常幸运的数学运算，拥有许多乘数等于给定总数的Gobblers与拥有一个乘数等于该总数的Gobbler是一样的，即使某些用户积累了大量 Gobbler，也能确保系统保持公平。

2、定义

-

的 Goo 释放倍数

- 在时间t时，

池中的Goo的数量

- Gobbler在时间0时，

拥有多少Goo

为方便起见，在仅指一个Gobbler时，我们将使用

不加下标

3、Goo的释放

Art Gobblers瞬间释放Goo的速度是

我们选择平方根发行是为了确保 Gobbler 比 Goo 更基础--在某个Gobbler 的池子里添加的Goo越多，每个新单位的Goo增加该Gobbler 的瞬时Goo发行量就越少。这意味着用户不能通过在单个Gobbler的池子里放置大量的Goo来玩弄这个系统。

例如，在时间1，如果m是2，并且g（1）是2，那么Goo每天的瞬时Goo发行量将是

用数学方法表示，我们有以下微分方程：

求解后可得

并展开，我们得到

注意，为方便起见，我们假设时间总是从0开始，而在生成中，我们必须跟踪自上次与合约互动以来所经过的时间。

4、跨越Gobblers优化Goo生产

想象一下，你有4个Goo和2个Gobblers，一个 mult为1，一个mult 为3。

你想决定如何在它们之间分配你的Goo，以使你的Goo生产率最大化。

如果你必须把所有的Goo都放在一个Gobbler的池子里，显然最好是把它放在mult为3的Gobbler的池子里，这样瞬间的生产速度为

然而，将你的Goo平均分配给Gobblers就更好了，其生产速度为

但事实证明，我们可以做得更好。对于任何一组有乘数

的Gobblers，在他们之间分配Goo的最佳方式是将总Goo的

分配给每个人。

在这种情况下，我们将把

Goo分配给第一个Gobbler，把

Goo分配给第二个Gobbler，这样瞬间的Goo总产量为

5、Goo 保持最优化

如果用户不得不不断地在多个Gobbler之间重新平衡他们的Goo，以保持它们的最佳生产状态，这将是一个有趣但不是特别有用的结果。

幸运的是，一旦平衡后，Gobblers就会保持平衡。要知道为什么，请注意，根据定义，在平衡的时候。

如果我们为方便起见引入一个新的常数

，我们会得到

将其插入上述

定义中，我们可以得到

并且，简化一下：

由于这对所有的

，我们可以看到，无论t数值是多少，Goo都是按照它们的乘数比例在Gobbler之间分配的，这正是我们维持最佳Goo产量所需要的条件。

6、多个Gobblers产生的Goo

这意味着我们可以为用户自动平衡Gobblers之间的Goo，只需一次，它们就会保持平衡。

即便如此，如果由此产生的Goo生产率很复杂或难以理解，整个系统就不会特别令人满意或有趣，而且用户可能不知道如何与之互动。

幸运的是，情况并非如此。事实证明，当Goo在多个

Gobbler之间得到最佳平衡时，总的Goo生产率与单个

mult的Gobbler的Goo生产率是一样的，换句话说，拥有Mult总和为100的多个Gobblers与拥有Mult为100的单个Gobbler相同。

回到我们原来的例子，我们可以手动验证是否是这种情况。当我们用 1 和 3 的乘法器在两个 gobbler 之间优化平衡 4 Goo 并实现 4 的瞬时输出时，这与将 4 Goo 放入具有mult 1 3=4 的单个 gobbler 的池中相同达到输出。我们可以看到，如果我们有四个 Gobbler，每个 Gobbler 的mult为 1，总输出为

这个最终结果 - 拥有几个总和为 10 的 Gobbler 与拥有一个具有 10 倍数的 Gobbler 相同 - 既非常直观又非常幸运，，因为否则用户可以通过改变钱包之间的Gobbler的分配来操纵Goo的生产速度。

7、激励措施

因为 Goo 是二次方膨胀的，所以持有它而不持有 Gobblers 是一个严重的错误，因为你不会再产生任何 Goo，同时在你的整体供应中的比例将迅速减少。

此外，我们可以从上面的自动平衡部分看到，当Goo按比例分配给mult时，整个生态系统的最佳Goo生产率就达到了。因此，如果你有很多Gobblers，但Goo却很少，你的Goo生产将落后于整个领域的生产，你将被竞争淘汰。因此，用户被激励保持他们的Goo和Gobbler持有量大致一致。

更正式地说，假设你拥有一个总乘数为M的Gobblers集合。如果你从未将你的任何Goo从其收集器中移除，从

的定义中我们可以看到，最终你的Goo供应将大约等于

，这是唯一的二次项。

假设所有的Gobblers加起来的总倍数是Q 。如果Goo在所有其他Gobblers之间完全平衡，最终他们的Goo供应量将大约等于

，因此Goo总供应量将与

成正比，而你所占的比例将是

，即你拥有的总mult的比例。

如果Goo在其他Gobblers之间不是完全平衡的，你在总Goo中的比例实际上会大于你在总mult中的比例。

当然，这只是在总mult随着时间的推移保持不变的情况下，而这可能不取决于系统的其他部分如何运作。否则，你可能不得不采取行动，以确保你在总mult中的份额保持不变。

四、代码

在transmissions11/goo-issuance可以找到GOO的高度优化、生产准备和许可（MIT）实现。欢迎提出改进意见。

五、总结

GOO是为Art Gobblers设计的，但我们相信它适用于各种NFT项目和链上游戏。如果你想从NFT中发行一个可替换的代币，同时确保用户持有NFT和代币的比例大致相同，GOO可能适合你。

如果有兴趣将GOO整合到您的项目中，可以联系。@_Dave__White_, @FrankieIsLost 和 @transmissions11。