DeFi无常损失分析：移动比特币钱包与流动性池的初始价值相同

在2020年夏天，Defi行业迎来了爆发。Uniswap，Compound，Sushi，YFI等项目展现出了强劲的增长能力，吸引了来自各方的关注。与传统的中心化交易所不同，这些项目中的自动做市模式不需要买方和卖方报价，而是通过精巧的算法自动确定交易价格。

然而，虽然这种交易方式简便，但也存在问题。其中一个重要问题就是"无常损失"。无常损失是指自动做市模式无法承担价格发现功能，导致在通证价格变化时出现套利空间。套利者利用流动性池中通证价格与中心化交易所通证价格的差异进行套利，从而造成流动性提供者（LP）的损失，即无常损失。

无常损失的承担者是LP，而LP是Defi流动性的来源和生存之本。因此，避免或减轻无常损失非常重要。本文将从数学角度探讨在最常用的xy=k模型下，将流动性池中的两种通证的初始价值设置为相等，如何降低无常损失的空间。

假设一个交易对中的两个通证分别为A和B，初始状态下流动性池中有x个A通证和y个B通证，它们的价格（以法币为单位）分别为px和py。假设B的价格上涨，新的价格为py"，此时流动性池中的py小于外部的py"，出现套利空间。套利者会用A在流动性池中购买低价的B。

假设某套利者向流动性池中注入一定量的A，使得A的数量从x变为x"，同时从流动性池中获得一定量的B。那么在这次交易中，套利者获得了多少利润？产生的无常损失是多少？

设流动性的初始总价值为TV，则TV=x*px+y*py。 当B的价格上涨，TV"=x*px+y*py"。 当套利者完成交易，TV""=x"*px+y"*py"。 因此无常损失TL=TV"-TV""。

由于xy=k=x"y"，所以y"=xy/x"。 因此TL=(x*px+y*py")-(x"*px+py"*xy/x") =(y-xy/x")*py"-(x"-x)*px。

两边同时乘以x"，得到： x"TL=(x"y-xy)*py"-x"*(x"-x)*px。

两边再同时除以(x"-x)，得到： x"TL/(x"-x)=y*py"-x"*px。

因此TL=(y*py"-x"*px)*(x"-x)/x" =(1-x/x")*(y*py"-x"*px)。

由此得到最终公式： TL=(1-x/x")*(y*py"-x"*px)。

由于x0。只要(y*py"-x"*px)>0，就会产生无常损失。

从这个公式中可以看出，通证A和B之间的价值差距越大，无常损失的空间就越大。这就是为什么流动性池的设计要使A和B的价值相等，以尽量避免无常损失。同时，带有稳定币的交易对会有较小的无常损失，因为稳定币的价格波动较小。

因此，流动性池的初始状态设置为两种通证的价值相等，就是为了降低无常损失的空间。